【数学之美】选修课上老师留的期中作业。
一份长长的书单。选一本书来读。可以写读后感。亦可以做好课后题交上来。这类书诸如《微积分五讲》等等。再或是手写一份推理证明之类。
果断选了读后感。缘何？普及读物自然不比专业教材。对于脑袋，好像是能省则省。总觉得太过艰涩难懂。五个手指头当然不是一般长。何苦，何苦。
像《素数之恋》这般好听的名字也在老师的书单中，之所以最后选了斯梅尔来读，哈，生命是由无数的偶然组成。了解这位美国老爷爷，很奇妙。
啊，真的很喜欢我们的选修课老师。极认真对数学极热爱的老爷爷。
【一个小学生风格的读后感】带你认识斯梅尔
我选读的是介绍斯梅尔的一本书——《突破维数障碍》。其实之前我对斯梅尔和他的成就并不熟悉，所以直到读到书的大概四分之一时才明白了题目的含义。
什么是突破维数障碍？源于庞加莱猜想。“若一紧三维流型与S3有相同的代数拓扑，则它与S3同胚”，由此又引出了广义庞加莱猜想：“若一紧n维流型与Sn有相同的代数拓扑，则它与Sn同胚”。非常凝练的陈述。有一种莫名的和谐的美感。但是我真的不明白。正如作者Steve Batterson所言，要给出这个陈述的一个解释，所需的基本结构远比费马大定理还要多。大概两页多的篇幅解释了维数和流形的概念，很抽象，但有一点理解了。特地查了“同胚”的概念，书中没有明确写出来。“在拓扑学中，两个流形，如果可以通过弯曲、延展、剪切（只要最终完全沿着当初剪开的缝隙再重新粘贴起来）等操作，把其中一个变为另一个，则认为两者是同胚的”。那么为什么说斯梅尔突破了维数障碍呢？因为当时大多数针对于庞加莱猜想的研究都围绕着三维情况。其实这挺好理解的，有一种“流行的传统智慧”认为，问题的难度随维数增加。想想也是啊，到了四维五维，就不太好想象了。这是其中一个原因。另一个是因为“在三维时代数拓扑更容易”。而斯梅尔的新方法则完全针对广义庞加莱猜想，他论证证明了等于或高于五维的庞加莱猜想。这无疑就是维数上的巨大突破！他不单解决了经典庞加莱猜想，而且确立了先前认为难以达到的推广。
读到这，我不禁对这位数学家肃然起敬。我想这可以称之为伟大吧。理论研究虽然不及工程类的研究来得实用，可是它要艰涩困难得多，而且它对人类文明的发展也要重要得多。这是一种里程碑似的成就。突然想到了古希腊人的理性精神，抽象，可他们却能把事物之间的关系发展到哲学范畴，比如老师之前讲过的“万物皆数”，这就是理论上的研究，这推动了人类文明的发展。而到了罗马时期，人们却开始注重实际的应用，忽略理论的研究，古希腊的科学文化到了罗马时代开始衰落，这恰恰说明了理论研究的重要性。
为什么我的题目是“神奇的数学家”呢，因为这位大数学家与我，或者说传统的认知好像不大一样。我想象的数学家，大概就是陈景润一样，兢兢业业坚持不懈地搞数学研究，甚至一看就有一种数学家的感觉。可是这位斯梅尔大数学家呢，他可不拘泥于这样的形象。作为一位共产党员，大学里积极参加左翼政治活动，甚至因此遭到一次处分。除此之外，他有丰富的业余爱好，不但被公认为是顶级的矿石收藏家，而且还热衷摄影、航海、登山等探险活动。而学术上，作为一名数学家，他开始是研究拓扑学，取得了很大的成就。如果他留在拓扑学，必然会得到崇高的地位。可是斯梅尔，我觉得他很有个性的，“风骨超常伦”,书上还提到了“看不到太多善意的原因”，转向了动力系统的研究，晚些时候又开始研究数理经济学。令人惊叹。
其实读这本书，遇到了很多数学上或者更细的分支上的专业术语，比如浸入，同宿点，h配边定理等等，有的实在不太明白的我就跳过了。但是还是学到了一些细小的东西。比如这里把数学的组成分为代数、分析和拓扑。比如了解了费马大定理：若n为大于2的整数，则方程式
这些就是看过斯梅尔传记后的感受。黑格尔说，数学是上帝描述自然的符号。真的很美。